1 . 在数列中，，其中.
（1）若依次成公差不为0的等差数列，求m;
（2）证明：“”是“恒成立”的充要条件;
（3）若，求证：存在，使得.

2 . 已知正项数列的前n项和为，．
(1)计算，，，，根据计算结果猜想的表达式．
(2)用数学归纳法证明你的结论．

3 . 已知数列的前项和为，其中且.
(1)试求：，的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.

4 . 已知数列的前项和为，且，.
(1)若数列是等差数列，且，求实数的值；
(2)若数列满足，且，求证：数列是等差数列；
(3)设数列是等比数列.试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的，都存在，使得数列.写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数的集合.

5 . 已知数列满足．
(1)求；
(2)证明：．

6 . 已知数列满足，且.
(1)求；
(2)证明数列是等差数列，并求的通项公式．

7 . 设数列满足，，2，3，．
(1)当时，求，，，并由此猜想出的一个通项公式；
(2)当时，用数学归纳法证明对所有，有．

8 . 已知a₁，a₂，…，a_n是由n（n∈N^*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{b_n}满足b_n=n+1﹣a_k（k=1，2，…，n）．
(1)当n=3时，写出数列{a_n}和{b_n}，使得a₂=3b₂；
(2)证明：当n为正偶数时，不存在满足a_k=b_k（k=1，2，…，n）的数列{a_n}；
(3)若c₁，c₂，…，c_n是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出c_k（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c₁+2c₂+…+nc_n．
（参考：1²+2²+…+n²=n（n+1）（2n+1））

9 . 已知数列满足，．
(1)求，；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)已知，求证：．

10 . 已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．