1 . 设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；
（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

2 . 已知数列｛｝的前n项和为Sn，，且对任意的n∈N*，n≥2都有．
（1）若0，，求r的值；
（2）数列｛｝能否是等比数列？说明理由；
（3）当r＝1时，求证：数列｛｝是等差数列．

3 . 将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.
（Ⅰ）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：①，②数列是公差为2的等差数列，③数列是公比为的等比数列；
（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.

4 . 数列满足条件：，其中.证明：对于任意的正整数，有如下结果成立.
（Ⅰ）数列为等比数列；
（Ⅱ）记数列，则数列为单调递减数列；
（Ⅲ）.

5 . 已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．
（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；
（2）如果数列为等比数列，求的值；
（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．

6 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，，与直线交于点（介于，两点之间）.
（i）求证：；
（ii）是否存在直线，使得直线、、、的斜率按某种顺序能构成等比数列？若能，求出的方程；若不能，请说明理由.

7 . 已知数列满足，且.
(1)当时，写出的通项公式（直接写出答案，无需过程）；
(2)求最小整数，使得当时，是单调递增数列；
(3)是否存在使得是等比数列？若存在请求出；若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.

9 . 数列的前项和为，已知.
（1）试写出；
（2）设，求证：数列是等比数列；
（3）求出数列的前项和为及数列的通项公式.

10 . 数列满足，若为等比数列，则首项的取值范围是__________．