2 . 已知数列的前n项和为，满足.
（1）求证：是等差数列；
（2）已知是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.
①若（是大于2的正整数），求证：；
②若（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列中的每一项都是数列中的项.

3 . 已知正项数列的前项和.
（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；
（2）设正项数列的前项和为，若，且.
①求数列的通项公式；
②求证：.

4 . 已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.
（1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；
（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.

5 . 设集合是由数列组成的集合，其中数列同时满足以下三个条件：
①数列共有项，；②；③
（1）若等比数列，求等比数列的首项、公比和项数；
（2）若等差数列是递增数列，并且，常数，求该数列的通项公式；
（3）若数列，常数，，求证：.

6 . 给定数列，若满足（且），对于任意，都有，则称数列为指数数列.
（1）已知数列、的通项公式分别为，，试判断、是不是指数数列（需说明理由）；
（2）若数列满足：，，，证明：是指数数列；
（3）若是指数数列，，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.

7 . 设各项均为正数的等比数列中，
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求证： ；
（3）是否存在正整数，使得对任意正整数均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，说明理由．

8 . 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；
（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：．