1 . 已知函数.
(1)（1）成立，求的取值范围；
(2)若在区间上有两个零点，求证：.

2 . 已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.
（1）若，，判断直线与是否平行；
（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；
（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.

3 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）对于区域中动点，求的取值范围；
（3）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与点的轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积值为定值.

4 . 已知函数.
(1)若函数在上存在两个极值点，求的取值范围；
(2)当时，求证：对任意的实数，恒成立.

5 . 已知在直角坐标系中，，其中数列，都是递增数列．
（1）若，，判断直线与是否平行；
（2）若数列，都是正项等差数列，设四边形的面积为，求证：也是等差数列；
（3）若，记直线的斜率为，数列的前8项依次递减，求满足条件的数列的个数．

6 . 已知，设不等式组所表示的平面区域为，记内整点的个数为（横、纵坐标均为整数的点称为整点）．

（1）通过研究的值的规律，求的通项公式；
（2）求证：．