名校
1 . 小红学了高一年级《基本不等式》后,高兴地告诉她正读高三的哥哥小东说:“哥哥,我知道你以前说的“基本不等式”是怎么回事了,我还可以对它扩充呢”.然后小红在草稿本上工工整整地写下了“若,,则”.小东微笑着说:“恭喜你获得了新知,加油!等你上高三了还可以往这个不等式里面补充内容,看我写一个.”然后小东就把刚才小红写的内容改成了:“若,,,则”.小东看着小红崇拜的眼睛,又补充说:“虽然你现在还不能完全证明它,但是你可以用‘若,,,则’作为条件来证明另一个结论:‘若,则’”.
(1)请完成小东所说结论的证明,即用“若,,,则”作为条件,证明结论“若,则”成立;
(2)请用(1)中的结论解决问题:已知函数有两个不同的零点,证明;
(3)小红成功完成(2)中的证明后,翻开哥哥小东的高三资料发现这样一道题:若函数有两个不同的零点,证明.她兴奋地对哥哥说:“我发现这个题在本质上跟(2)中的题目是一模一样的!”.请问你认同小红的说法吗?写出你的观点并说明理由.
(1)请完成小东所说结论的证明,即用“若,,,则”作为条件,证明结论“若,则”成立;
(2)请用(1)中的结论解决问题:已知函数有两个不同的零点,证明;
(3)小红成功完成(2)中的证明后,翻开哥哥小东的高三资料发现这样一道题:若函数有两个不同的零点,证明.她兴奋地对哥哥说:“我发现这个题在本质上跟(2)中的题目是一模一样的!”.请问你认同小红的说法吗?写出你的观点并说明理由.
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名校
2 . 若实数x,y,m满足,则称x比y接近m,
(1)请判断命题:“比接近”的真假,并说明理由;
(2)已知x>0,y>0,若,证明:1比p接近;
(3)判断:“x比y接近m”是“”的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分又不必要条件),并加以证明.
(1)请判断命题:“比接近”的真假,并说明理由;
(2)已知x>0,y>0,若,证明:1比p接近;
(3)判断:“x比y接近m”是“”的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分又不必要条件),并加以证明.
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名校
解题方法
3 . (1)对于两个正数,,我们把称为它们的调和平均数,称为它们的几何平均数. 求证:两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数;
(2)已知,,且,求的最小值及取最小值时,的值.
(2)已知,,且,求的最小值及取最小值时,的值.
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名校
解题方法
4 . 对于两个函数:和,的最大值为M,若存在最小的正整数k,使得恒成立,则称是的“k阶上界函数”.
(1)若,是的“k阶上界函数”.求k的值;
(2)已知,设,,.
(i)求的最小值和最大值;
(ii)求证:是的“2阶上界函数”.
(1)若,是的“k阶上界函数”.求k的值;
(2)已知,设,,.
(i)求的最小值和最大值;
(ii)求证:是的“2阶上界函数”.
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2022-01-24更新
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1564次组卷
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2卷引用:重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
解题方法
5 . 已知椭圆.
(1)若在椭圆上,证明:直线与椭圆相切;
(2)如图,分别为椭圆上位于第一、二象限内的动点,且以为切点的椭圆的切线与轴围成.求的最小值.
(1)若在椭圆上,证明:直线与椭圆相切;
(2)如图,分别为椭圆上位于第一、二象限内的动点,且以为切点的椭圆的切线与轴围成.求的最小值.
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6 . 在直角坐标系中,椭圆与直线交于M,N两点,P为MN的中点.
(1)若,且N在x轴下方,求的最大值;
(2)设A,B为椭圆的左、右顶点,证明:直线AN,BM的交点D恒在一条定直线上.
(1)若,且N在x轴下方,求的最大值;
(2)设A,B为椭圆的左、右顶点,证明:直线AN,BM的交点D恒在一条定直线上.
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2022-03-17更新
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535次组卷
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2卷引用:重庆市缙云教育联盟2023届高三上学期9月月度质量检测数学试题
名校
解题方法
7 . 为了求一个棱长为的正四面体的体积,某同学设计如下解法.
解:构造一个棱长为1的正方体,如图1:则四面体为棱长是的正四面体,且有.
(1)类似此解法,如图2,一个相对棱长都相等的四面体,其三组棱长分别为,,,求此四面体的体积;
(2)对棱分别相等的四面体中,,,.求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形;
(3)有4条长为2的线段和2条长为的线段,用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻,构成一个三棱锥,问为何值时,构成三棱锥体积最大,最大值为多少?
[参考公式:三元均值不等式及变形,当且仅当时取得等号]
解:构造一个棱长为1的正方体,如图1:则四面体为棱长是的正四面体,且有.
(1)类似此解法,如图2,一个相对棱长都相等的四面体,其三组棱长分别为,,,求此四面体的体积;
(2)对棱分别相等的四面体中,,,.求证:这个四面体的四个面都是锐角三角形;
(3)有4条长为2的线段和2条长为的线段,用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻,构成一个三棱锥,问为何值时,构成三棱锥体积最大,最大值为多少?
[参考公式:三元均值不等式及变形,当且仅当时取得等号]
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2021-07-15更新
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793次组卷
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2卷引用:重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题