1 . 设，均为正数，且．证明：
（1）       
（2）

2 . 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义:,那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.

3 . （1）已知，求证：.
（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？

4 . （1）已知,,，试比较与的大小;
（2）求证：．

5 . 如果用糖制出糖溶液,则糖的质量分数为.若在上述溶液中再添加糖.
(Ⅰ)此时糖的质量分数增加到多少？（请用分式表示）
(Ⅱ)请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.

6 . 已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

7 . （1）在△ABC中，求证：c(acosB-bcosA)=a²-b²；
（2）比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.

8 . （1）已知，求证：．
（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．

9 . 观察以下运算:

⑴若两组数与,且,,运算是否成立,试证明.
⑵若两组数与,且,,对,,进行大小排序(不需要说明理由)；
⑶根据⑵中结论,若,试判定,,大小并证明.

10 . 设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋≤＋xy.