1 . 如图，在正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，
的最小值为
．
(2)当取最小值时，求三棱锥A-PBE与三棱锥A-BCD体积之比．
的最小值为．
(2)当
取最小值时，求三棱锥A-PBE与三棱锥A-BCD体积之比．
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2 . 如图，已知四面体
的棱长均为6，棱
的中点分别为
，用平面
截四面体，得到三棱台
.的体积；
(2)若
为棱
上的动点，求
的最小值，并求取最小值时线段
的长度.
的棱长均为6，棱的中点分别为，用平面截四面体，得到三棱台.
的体积；(2)若
为棱上的动点，求的最小值，并求取最小值时线段的长度.
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3 . 如图，在正三棱锥
中，底面边长为a，侧棱长为
，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面
周长的最小值和这时点E，F的位置．
中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．
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4 . 如图，正三棱锥
是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知
，
，点M，N分别为MA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥表面爬行到点N，求：
(1)该三棱锥的体积；
(2)蚂蚁爬行的最短路线长.
是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知，，点M，N分别为MA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥表面爬行到点N，求： (1)该三棱锥
的体积；(2)蚂蚁爬行的最短路线长.
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5 . 如图，正三棱锥中，
，点
分别为
的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点
，求：
(2)蚂蚁爬行的最短路线长.
中，，点分别为的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：
(2)蚂蚁爬行的最短路线长.
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2023-03-31更新
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2342次组卷
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9卷引用：浙江省宁波金兰教育合作组织2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题
浙江省宁波金兰教育合作组织2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题河南省开封市杞县高中2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）立体几何专题：几何体表面最短路径5种考法（已下线）专题12 球的外接、内切及立体几何最值问题-期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）山西省运城市景胜中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（A卷）（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题二 空间图形的展开与最短路径问题 微点3 空间最短路径问题综合训练浙江省湖州市南浔高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（已下线）专题突破：空间几何体展开与最短路径问题-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）广东省广州市广雅中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题
解题方法
6 . 如图，菱形
中，
，
，
为上一点，满足
，将菱形沿
对折，形成四面体
，满足
(1)设折叠前
的面积为
，折叠后的面积为
，求
的值；
(2)求三棱锥
的体积
中，，，为上一点，满足，将菱形沿对折，形成四面体，满足(1)设折叠前
的面积为，折叠后的面积为，求的值；(2)求三棱锥
的体积
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2022-07-15更新
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498次组卷
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6卷引用：贵州省遵义市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学（文）试题
贵州省遵义市2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学（文）试题河北省衡水市阳光中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题（已下线）8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（精练）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（已下线）8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（2）-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）立体几何专题：折叠问题中的证明与计算5种题型（已下线）微专题12 轻松搞定空间几何体的体积问题（2）
名校
解题方法
7 . 平行四边形ABCD中，
，
，如图甲所示，作
于点E，将
沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．
(1)设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；
(2)当四棱锥
的体积最大时，求二面角
的正切值；
(3)在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．
，，如图甲所示，作于点E，将沿着DE翻折，使点A与点P重合，如图乙所示．(1)设平面PEB与平面PDC的交线为l，判断l与CD的位置关系，并证明；
(2)当四棱锥
的体积最大时，求二面角的正切值；(3)在（2）的条件下，G、H分别为棱DE，CD上的点，求空间四边形PGHB周长的最小值．
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2022-06-20更新
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1435次组卷
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5卷引用：吉林省实验中学2021-2022学年高一下学期6月教学诊断检测（三）数学试题
解题方法
8 . 已知正三棱锥
，顶点为P，底面是三角形
．
(1)若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为
，设质点
自
出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直到回到出发点，求质点移动路程的最小值；
(2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形内切圆为底面的圆锥的体积．
，顶点为P，底面是三角形．(1)若该三棱锥的侧棱长为1，且两两成角为
，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直到回到出发点，求质点移动路程的最小值；(2)若该三棱锥的所有棱长均为1，试求以P为顶点，以三角形
内切圆为底面的圆锥的体积．
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9 . 已知正三棱锥
，顶点为，底面是
.
（1）若该三棱锥的侧棱长为
，且两两成角为
，设质点
自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；
（2）若该三棱锥的所有棱长均为，试求以为顶点，以内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；
（3）若该棱锥的体积为定值
，求该三棱锥侧面与底面所成的角
，使该三棱锥的表面积
最小.
，顶点为，底面是.（1）若该三棱锥的侧棱长为
，且两两成角为，设质点自出发依次沿着三个侧面移动环绕一周直至回到出发点，求质点移动路程的最小值；（2）若该三棱锥的所有棱长均为
，试求以为顶点，以内切圆为底面的圆锥的侧面积和体积；（3）若该棱锥的体积为定值
，求该三棱锥侧面与底面所成的角，使该三棱锥的表面积最小.
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解题方法
10 . 如图，
是圆
的直径，点
是圆上异于
的点，
垂直于圆所在的平面，且
．
（1）若
为线段
的中点，求证：平面
平面
；
（2）若，点是线段
上的动点，求
的最小值．
是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．（1）若
为线段的中点，求证：平面平面；（2）若
，点是线段上的动点，求的最小值．
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