1 . 已知在三棱锥中，，点为三棱锥外接球上一点，则三棱锥的体积最大为______．

2 . 在正四棱台中，，，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为的球上，则平面截球所得截面的面积为______.

4 . 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______.

5 . 已知勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体ABCD能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体ABCD的内切球的半径为______．

6 . 已知一个正方体的外接球的体积为，则正方体的体积为__________.

7 . 如图，在平面五边形中， ，，则五边形绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为_____

8 . 已知三棱柱中，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为的中点，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为______.

9 . 一个正四棱锥底面边长为2，高为，则该四棱锥的内切球表面积为__________.

10 . 已知表面积为的球O的内接正四棱台，，，动点P在内部及其边界上运动，则直线BP与平面所成角的正弦值的最大值为________．