23-24高二上·江苏连云港·期末
解题方法
1 . 数学课上，老师出示了以下习题：已知圆柱内接于半径为3的球
，求圆柱体积
的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：
(1)小明的方案：设圆柱的高为
，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值；
(2)小亮的方案：取圆柱底面圆
上一点
，连接
，
，设
，请你帮他写出体积与
之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值.
，求圆柱体积的最大值.为了求出圆柱体积的最大值，小明和小亮两位同学分别给出了如下两种方案：(1)小明的方案：设圆柱的高为
，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值；(2)小亮的方案：取圆柱底面圆
上一点，连接，，设，请你帮他写出体积与之间的函数关系式，并求出圆柱体积的最大值.
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名校
解题方法
2 . （1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为
的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中
是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形
绕
旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.
的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；（2）“老六”将周长为4的矩形
绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.
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解题方法
3 . 高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为
，高为
的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
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2023高二下·浙江温州·学业考试
解题方法
4 . 已知直三棱柱
，各棱长均为
，
为
的中点，
为
的中点．
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：
平面
；
(3)求异面直线
与
所成角的余弦值．
，各棱长均为，为的中点，为的中点．(1)求直三棱柱
的体积；(2)求证：
平面；(3)求异面直线
与所成角的余弦值．
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22-23高二下·江苏常州·期中
5 . 如图，三角形ABC是圆柱底面圆的内接三角形，PA为圆柱的母线，M，N分别是AC和PA的中点，平面
平面PAB，
．
(1)求证：
；
(2)求三棱锥
和圆柱的体积之比；
(3)求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小．
平面PAB，． (1)求证：
；(2)求三棱锥
和圆柱的体积之比；(3)求平面PBC与平面MBN所成的锐二面角的大小．
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6 . 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，
，若
.
(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面
平面AMD.
，若.(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面
平面AMD.
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2023-04-13更新
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751次组卷
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6卷引用：专题1.5 空间向量的应用【十大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）
（已下线）专题1.5 空间向量的应用【十大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题05 用空间向量研究直线、平面的平行、垂直问题10种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第一册)上海市静安区2023届高三二模数学试题（已下线）专题07 空间向量与立体几何（已下线）上海市静安区2023届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）考点10 空间向量的应用 2024届高考数学考点总动员【练】
名校
解题方法
7 . 如图，已知向量
，可构成空间向量的一个基底，若
，
，
．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算
，显然
的结果仍为一向量，记作
为平面OAB的法向量；
(2)若
，
，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与
的大小；
(3)将四边形OADB按向量
平移，得到一个平行六面体
，试判断平行六面体的体积V与
的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
，可构成空间向量的一个基底，若，，．在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算，显然的结果仍为一向量，记作
为平面OAB的法向量；(2)若
，，求以OA，OB为边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与的大小；(3)将四边形OADB按向量
平移，得到一个平行六面体，试判断平行六面体的体积V与的大小．（注：第（2）小题的结论可以直接应用）
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2022-11-18更新
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214次组卷
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5卷引用：福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
福建省福州市八县（市）协作校2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）期中真题必刷易错60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2023-2024学年高二下学期第一次调研测试（3月）数学试题江苏省泰州市第三高级中学2023-2024学年高二下学期第一次阶段检测数学试卷福建省厦门市厦门大学附属科技中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
解题方法
8 . 已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成
角，求该圆柱的体积.
角，求该圆柱的体积.
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2022-04-28更新
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423次组卷
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2卷引用：沪教版(2020) 必修第三册 新课改一课一练 第11章 11.1.2柱体的体积
名校
解题方法
9 . 如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB所在直线与桌面所成的角为α．
(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；
(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．
(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；
(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．
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2022-04-23更新
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388次组卷
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5卷引用：沪教版(2020) 必修第三册 同步跟踪练习 第11章 11.1~11.2 阶段综合训练
沪教版(2020) 必修第三册 同步跟踪练习 第11章 11.1~11.2 阶段综合训练沪教版(2020) 必修第三册 新课改一课一练 第11章 数学建模上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第八章 立体几何初步 单元复习提升（易错与拓展）（1）-单元速记·巧练（人教A版2019必修第二册）（已下线）第五章 破解立体几何开放探究问题 专题一 立体几何存在性问题 微点2 立体几何存在性问题的解法综合训练【培优版】
名校
解题方法
10 . 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，
分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.
(1)若长为，把蒙古包的体积表示为的函数；
(2)求蒙古包体积的最大值.
分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.(1)若
长为，把蒙古包的体积表示为的函数；(2)求蒙古包体积的最大值.
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2022-02-17更新
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307次组卷
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4卷引用：山西省晋中市2021-2022学年高二上学期期末数学试题
山西省晋中市2021-2022学年高二上学期期末数学试题山西省朔州市怀仁市第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学（文）试题（已下线）专题2.2 一元函数的导数及其应用 章末检测2（中）-【满分计划】2021-2022学年高二数学阶段性复习测试卷（人教A版2019选择性必修第二册）广东省茂名市信宜市2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
