1 . 如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点．
   
(1)证明：平面//平面．
(2)若平面，，与平面的距离为，，，三棱锥的体积为，试写出关于的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，当为多少时，三棱锥的体积取得最大值？并求出最大值．

2 . 如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点.

   

(1)求圆柱的侧面积；
(2)求四棱锥的体积的最大值.

3 . 如图，AB是圆柱的一条母线，BC过底面圆心O，D是圆O上一点．已知，

(1)求该圆柱的表面积；
(2)将四面体ABCD绕母线AB所在的直线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．

4 . 五月五，是端午，门插艾，香满堂，吃粽子，蘸白糖，粽子古称“角黍”，是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同，有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为，则现有体积的食材，最多可以包成这种粽子________个．

5 . 在直三棱柱中，，，过的截面与面交于．

(1)求证：．
(2)若截面过点，求证：面．
(3)在（2）的条件下，求．

6 . 如图，点为矩形的边的中点，，，将矩形绕直线旋转所得到的几何体体积记为，将绕直线旋转所得到的几何体体积记为，则的值为________

7 . 如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.

(1)求三棱锥的体积；
(2)在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.