1 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E为的中点．

(1)证明：平面；
(2)设，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值．

3 . 如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．

(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．

4 . 图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将该图形沿AB，AD折起使得AE与AF重合，连接CG，如图2.

(1)证明：图2中的C，D，E，G四点共面；
(2)求图2中三棱锥的体积.

5 . 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，.

(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.

6 . 如图，在四棱锥，四边形正方形，平面．，，点是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．

7 . 如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝90°．

(1)求证：BC∥平面ADD₁A₁；
(2)若，B₁D与平面ABCD所成角为，满足且，求最大值．

8 . 祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线中的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a，高为m的圆柱体后，所得几何体与底面半径为，高为m的圆锥均放置于平面上（几何体底面在内）．与平面平行且到平面距离为的平面与两几何体的截面面积分别为，可以证明总成立．依据上述原理，的双曲线旋转体的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知三棱锥D-ABC，△ABC与△ABD都是等边三角形，AB=2.

(1)若，求证：平面ABC⊥平面ABD；
(2)若AD⊥BC，求三棱锥D-ABC的体积.

10 . 如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.

(1)求证：平面EBD；
(2)求三棱锥的体积.