名校
解题方法
1 . 如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点.
(1)证明：
∥平面
；
(2)若
，
，
（i）求二面角
的余弦值；
（ii）在线段
上是否存在点
，使得点到平面
的距离是
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中，平面平面，，，，，为棱的中点. (1)证明：
∥平面；(2)若
，，（i）求二面角
的余弦值；（ii）在线段
上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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解题方法
2 . 已知四棱锥的底面为直角梯形，
，
，
，平面
平面，是
的中点．
(1)求证：
平面；
(2)求证：
平面；
(3)设棱与平面
交于点
，求
的值．
的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点． (1)求证：
平面；(2)求证：
平面；(3)设棱
与平面交于点，求的值．
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名校
解题方法
3 . 如图，已知直三棱柱
，
，
，
，点
为
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面的距离.
，，，，点为的中点.(1)证明：
平面；(2)求直线
与平面的距离.
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2022-11-08更新
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984次组卷
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3卷引用：北京市丰台区2022-2023学年高二上学期期中练习数学（A卷）试题
名校
解题方法
4 . 如图，四棱锥的底面为菱形，
，
，
底面，
，
分别是线段，
的中点，
是线段上的一点．
(1)若
平面
，求证：为的中点；
(2)若是直线与平面
的交点，试确定
的值；
(3)若直线
与平面所成角的正弦值为
，求三棱锥
体积．
的底面为菱形，，，底面，，分别是线段，的中点，是线段上的一点．(1)若
平面，求证：为的中点；(2)若
是直线与平面的交点，试确定的值；(3)若直线
与平面所成角的正弦值为，求三棱锥体积．
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名校
5 . 如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的菱形，
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面
与棱
交于点E.
(1)求证：
；
(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面
所成角的正弦值.条件①：平面
平面；条件②：
；条件③：
.
中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.(1)求证：
；(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
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2022-10-20更新
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2743次组卷
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15卷引用：北京市西城区2022届高三二模数学试题
北京市西城区2022届高三二模数学试题北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市第五十七中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市东城区2023届高三一模数学试题查漏补缺练习试题（2）（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题9-12题空间向量与立体几何中的高考新题型（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷（已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-3（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）模块十一 立体几何-2重庆市第八中学校2022届高三下学期高考考前模拟数学试题（已下线）模块六 专题8 易错题目重组卷（重庆卷）陕西省延安市宜川县中学2023届高三一模理科数学试题（已下线）专题4 大题分类练（空间向量与立体几何）拔高能力练 高二期末
解题方法
6 . 用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形在平面
内的平行投影是四边形
.
(1)若平行四边形平行于投影面（如图
），求证：四边形是平行四边形；
(2)在图
中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；
(3)如图
，已知四边形和平行四边形的面积分别为
，平面与平面的交线是直线
，且这个平行投影是正投影.设二面角
的平面角为
（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.
在平面内的平行投影是四边形.图
图
图
(1)若平行四边形
平行于投影面（如图），求证：四边形是平行四边形；(2)在图
中作出平面与平面的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；(3)如图
，已知四边形和平行四边形的面积分别为，平面与平面的交线是直线，且这个平行投影是正投影.设二面角的平面角为（为锐角），猜想并写出角的余弦值（用表示），再给出证明.
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名校
解题方法
7 . 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，
，
，
.
平面
；
(2)求证：
平面；
(3)在棱
上是否存在点N，使得平面
平面
？如果存在，求此时
的值；如果不存在，请说明理由.
中，M为棱的中点，，，.
平面；(2)求证：
平面；(3)在棱
上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
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2022-06-21更新
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4971次组卷
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24卷引用：北京西城66中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题
北京西城66中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题北京市第十五中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学理试题北京市西城15中2018届高三上学期期中考试数学（理科）试题北京市人大附中北京经济技术开发区学校2020-2021学年高一下学期期末测试数学试题2019年山西省忻州市静乐县高三下学期6月月考数学试题江西省南昌市新建县第一中学2019-2020学年高二开学考试数学(文)试题（已下线）专题8.5 直线、平面垂直的判定及性质 （精讲）-2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）考点24 空间直线、平面的平行、垂直问题-2021年新高考数学一轮复习考点扫描江苏省无锡市江阴市2021-2022学年高二上学期期初摸底检测数学试题江苏省徐州市沛县2021-2022学年高一下学期第二次学情调研数学试题江苏省常州市第二中学2021-2022学年高一下学期5月学情调研数学试题河北省石家庄市十五中2021-2022学年高一下学期6月第三次月考数学试题（已下线）第08练 点线面的位置关系-2022年【暑假分层作业】高一数学（苏教版2019必修第二册）辽宁省鞍山市第三中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）专题31 直线、平面垂直的判定与性质-2辽宁省六校2022-2023学年高二上学期期初考试数学试题（已下线）8.6.3 平面与平面垂直（精讲）（已下线）专题8.15 空间中线面的位置关系大题专项训练（30道）-2022-2023学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）安徽省亳州市第二完全中学2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（A卷）辽宁省大连市第三十六中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题黑龙江省牡丹江市第一高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题（已下线）点线面之间的位置关系专题12空间中直线、平面的平行与垂直关系（解答题）（已下线）高一下学期期中复习解答题压轴题十八大题型专练（2）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）
名校
8 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中
，
，
，平面，且
，点在棱上，点为
中点.
(1)证明：若
，直线
平面
；
(2)求二面角
的正弦值；
(3)是否存在点，使
与平面
所成角的正弦值为
？若存在求出
值；若不存在，说明理由.
中，底面为直角梯形，其中，，，平面，且，点在棱上，点为中点.(1)证明：若
，直线平面；(2)求二面角
的正弦值；(3)是否存在点
，使与平面所成角的正弦值为？若存在求出值；若不存在，说明理由.
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2022-03-10更新
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5596次组卷
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13卷引用：北京市大峪中学2023-2024学年高二上学情期中考试数学试题
北京市大峪中学2023-2024学年高二上学情期中考试数学试题天津市区重点中学2022届高三下学期一模联考数学试题（已下线）专题20 平行垂直与空间向量在立体几何中的应用-2022届高考数学一模试题分类汇编（新高考卷）广东省揭阳市普宁市华侨中学2022届高三下学期第二次模拟数学试题湖南省长沙市长郡湘府中学2021-2022学年高一下学期期末模拟数学试题湖南师范大学附属中学2023届高三上学期第二次月考数学试题江西省乐平中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专题16 空间向量及其应用（模拟练）天津市滨海新区塘沽紫云中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题吉林省长春汽车经济技术开发区第三中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题湖北省黄冈市黄梅国际育才高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题（已下线） 第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
9 . 在棱长为2正方体
中，
，分别为
和的中点，为
上的动点，平面
与棱交于点．
(1)求证：点为中点；
(2)求证：
；
(3)当
为何值时，
与平面
所成角的正弦值最大，并求出最大值．
中，，分别为和的中点，为上的动点，平面与棱交于点．(1)求证：点
为中点；(2)求证：
；(3)当
为何值时，与平面所成角的正弦值最大，并求出最大值．
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2014·北京朝阳·二模
名校
10 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，
，分别为
中点，
．
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使
平面
？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
中，底面是正方形，侧面底面，，分别为中点，．（1）求证：
平面；（2）求二面角
的余弦值；（3）在棱
上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
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2021-11-01更新
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4023次组卷
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12卷引用：2014届北京市朝阳二模理科数学试卷
（已下线）2014届北京市朝阳二模理科数学试卷【全国百强校】新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题天津市耀华中学2020-2021学年高二（上）第一次段考数学试题辽宁省沈阳五中2020-2021学年高二10月份月考数学试题天津市静海区大邱庄中学2021-2022学年高二上学期第一次诊断性检测数学试题（已下线）2021年新高考北京数学高考真题变式题16-21题（已下线）考点35 立体几何中的综合问题-备战2022年高考数学典型试题解读与变式（已下线）专题20 立体几何综合大题必刷100题-【千题百练】2022年新高考数学高频考点+题型专项千题百练(新高考适用)（已下线）理科数学-2022年高考押题预测卷02（全国甲卷）（已下线）2022年高考考前20天终极冲刺攻略（三）【理科数学】 （5月27日）天津市滨海新区塘沽紫云中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
