1 . 如图，在长方体木块中，，，．棱上有一动点．
   
(1)若，过点画一个与棱平行的平面，使得与此长方体的表面的交线围成一个正方形（其中交线在平面内）．在图中画出这个正方形（不必说出理由），并求平面将长方体分成的两部分的体积比；
(2)若平面交棱于，求四边形的周长的最小值．

2 . 已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）.（如图所示）

(1)若是棱中点，
（i）画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由；
（ii）求证：平面；
(2)若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.

3 . 如图，四棱锥的底面为正方形，平面，，是侧面上一点．

(1)过点作一个截面，使得与都与平行．作出与四棱锥表面的交线，并证明；
(2)设，其中．若与平面所成角的正弦值为，求的值．

4 . 已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边的中点，且平面．

(1)设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由；
(2)证明：（1）中的直线平面．

5 . 如图，在三棱柱中，侧棱底面，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．
   
(1)在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；
(2)设（1）中的直线交于点，求三棱锥的体积．