1 . 如图正方体的棱长为2，E是棱的中点，过的平面与棱相交于点F.
   
(1)求证：F是的中点；
(2)求点D到平面的距离.

2 . 如图，，为圆柱的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是，的中点，面．
   
(1)证明：平面ABC；
(2)若，求平面与平面BDC的夹角余弦值．

3 . 已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.

(1)若，求证：；
(2)若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.

4 . 如图，四棱锥中，平面平面，，，，，，．是中点，是上一点．

(1)是否存在点使得平面，若存在求的长．若不存在，请说明理由；
(2)二面角的余弦值为，求的值．

5 . 如图，在四面体ABCD中，G为△ABC的重心，E，F分别在棱BC，CD上，平面平面EFG．

(1)求的值；
(2)若平面BCD，，且，求二面角的正弦值．

6 . 如图，正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁的边长为2，点F为棱CC₁的中点，过直线AF作一平面，与棱BB₁，DD₁分别交于E，G两点．

(1)求证：四边形AEFG为平行四边形；
(2)求四棱锥C₁−AEFG的体积；
(3)若，且直线AC₁与平面AEFG所成角的正弦值为，求的值．

7 . 如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为矩形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.

(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)若，且，求四棱锥的体积.

8 . 如下左图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔点到的距离为3．将该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下右图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点．

（1）证明：四边形为长方形；
（2）求二面角的平面角的正切值．

9 . 如图，在三棱台中，，，，G、H分别为AC、BC上的点，平面平面.
   
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.

10 . 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.

（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.