1 . 如图，直三棱柱中，O是与的交点，是的中点．

(1)证明:平面；
(2)若侧面是正方形，，求证：平面平面．

2 . 如图，在直三棱柱中，，，，

（1）证明：当时，求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.

3 . 如图，在以为顶点的五面体中，为的中点，平面，∥，，，.

（1）试在线段找一点使得平面，并证明你的结论；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正切值.

4 . 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.

（1）如果是的中点，求证平面.
（2）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论.

5 . 如图，直三棱柱中，已知，， 是中点．

（1）求证：平面；
（2）当点在上什么位置时，会使得平面？并证明你的结论．

6 . 如图，在四棱锥中，侧棱，底面是菱形，与交于点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若为中点，点在侧面内及其边界上运动，并保持，试指出动点的轨迹，并证明你的结论．

7 . 在长方体中，点，分别在，上，且，．

(1)求证：平面；
(2)当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．

8 . 如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，
   
(1)求证；
(2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值．

9 . 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.

10 . 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.

(1)求证：；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.