1 . 在四面体中，点H为的垂心，且平面．

(1)若，求证：；
(2)若，证明：．

2 . 如图，在四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱平面，，是的中点．

   

(1)求证：平面；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．

3 . 如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点.
   
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在一点N，使得平面平面，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论，若不存在，请说明理由；
(3)求二面角的正切值.

4 . 如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.

(1)证明： 平面；
(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.

5 . 如图，在五面体中，四边形为正方形，，平面平面，且，点是的中点.

(1)证明：；
(2)若点在线段上，且，求证：平面；
(3)已知空间中有一点到五点的距离相等，请指出点的位置.（只需写出结论）

6 . 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．

(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．

7 . 如图，直三棱柱中，O是与的交点，是的中点．

(1)证明:平面；
(2)若侧面是正方形，，求证：平面平面．

8 . 在正六棱柱中，，，M为侧棱的中点，O为下底面ABCDEF的中心.

(1)若平面交棱于点P，交棱于点Q，在图中补全出平面截该正六棱柱所得的截面，并指出P与Q的位置（无需证明）；
(2)求证：平面；
(3)证明：平面.

9 . 在如图1所示的等腰梯形中，，将它沿着两条高折叠成如图2所示的四棱锥（重合），点分别为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)求证：平面平面.

10 . 已知正四棱柱中，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．