1 . 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）．

   

(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长．

2 . 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.

   

(1)求证：；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，在长方体中，，点是的中点.

(1)证明：；
(2)在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由；
(3)求二面角的正切值.

4 . 已知四棱锥中，平面底面为的中点，为棱上异于的点．

(1)证明：；
(2)试确定点的位置，使与平面所成角的余弦值为．

5 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．

   

(1)证明：平面PCD；
(2)若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．

6 . 已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点P在底面上的射影是与的交点．已知，是等边三角形．

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点．问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出这个最大角，并说明点此时所在的位置．

7 . 如图，在直角梯形中，，，，底面，且，在上取点．

   

(1)若，求二面角的大小；
(2)若，写出的函数关系式，并求当x为何值时，BM最小？最小值是多少？

8 . 如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．

(1)求证：；
(2)当面积的最小值是9时，求证：平面．

9 . 在正方体中，点M是棱的中点，点O是对角线的中点．

(1)求证：OM所在直线为异面直线和的公垂线；
(2)求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）

10 . 矩形ABCD，，，沿把折起，使点在平面上的射影恰好落在上．

   

(1)求证：；
(2)求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．