1 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)求二面角A﹣BC﹣P的大小；
(4)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．

3 . 如图，在正方体中．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小．

4 . 直四棱柱，，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4
   
(1)求证：；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角的大小.

5 . 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，△是边长为2的等边三角形，，．

(1)设中点，求证：平面；
(2)求平面和平面所成锐二面角的大小．

6 . 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．

7 . 如图所示，在正三棱锥中，为棱的中点.

（1）求证：；
（2）若，且点到底面的距离为，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.

8 . 如图，在直三棱柱中，，.

（1）证明：；
（2）求二面角的大小.(结果用反三角函数值表示)

9 . 如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，平面，，为的中点，为底面对角线的交点；

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.

10 . 已知梯形中，,,,,是上的点，是的中点，沿将梯形折起，使平面平面.

（1）当时，求证：；
（2）记以为顶点的三棱锥的体积为，求的最大值；
（3）当取得最大值时，求二面角的大小.