1 . 在三棱锥中，，平面，点M是棱上的动点，点N是棱上的动点，且．

(1)当时，求证：；
(2)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值．

2 . 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．
   

3 . 如图，棱长为2的正方体中，E、F分别是棱AB，AD的中点，G为棱上的动点．

   

(1)是否存在一点G，使得面？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；
(2)若直线EG与平面所成的角为，求三棱锥的体积；
(3)求三棱锥的外接球半径的最小值．

4 . 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，，，，点是的中点.
       
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值.

5 . 如图，已知在四面体中，，，.、分别为、中点.
   
(1)证明：直线为、的公垂线；
(2)求空间内任一点到四面体四个顶点距离和的最小值.

6 . 如图，已知矩形中，，，其中为的中点，将矩形沿折成二面角，且有.

(1)若点为的中点，求证平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

7 . 如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面，.

(1)证明：平面.
(2)求点B到直线的距离.
(3)线段上是否存在一点D，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 图1是由正方形组成的一个等腰梯形，其中，将、分别沿折起使得E与F重合，如图2．

（1）设平面平面，证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求长．

9 . 如图，四边形为矩形，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且在平面内的射影在边上.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.

10 . 如图所示，、、两两互相垂直，四边形为矩形，、分别为、的中点.求证：.