1 . 已知分别是空间四边形的边的中点.

   

(1)用向量法证明四点共面；
(2)用向量法证明：平面；
(3)设是和的交点，求证：对空间任一点，有.

2 . 如图，在棱长为a的正方体OABC－O₁A₁B₁C₁中，E，F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz．

（1）写出点E，F的坐标；
（2）求证：A₁F⊥C₁E；
（3）若A₁，E，F，C₁四点共面，求证：．

3 . 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.

4 . 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.

5 . 如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交棱于点D，E，F，若，求证：为定值．

6 . 已知四棱锥的底面是平行四边形，平面与直线，，分别交于点，，且，点在直线上，为的中点，且直线平面.

（1）设，，，试用基底表示向量；
（2）证明，四面体中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；
（3）证明，对所有满足条件的平面，点都落在某一条长为的线段上.

7 . 在平面四边形中，、分、所成的比为，即，则有：.
          
（1）拓展到空间，写出空间四边形类似的命题，并加以证明；
（2）在长方体中，，，，、分别为、的中点，利用上述（1）的结论求线段的长度；
（3）在所有棱长均为平行六面体中，（为锐角定值），、分、所成的比为，求的长度.（用，，表示）

8 . 已知三棱柱中，侧棱底面，记，，.

（1）用表示；
（2）若，，求证：.

9 . 如图，在空间四边形中，为其对角线，为的重心．
（1）证明：；
（2）证明：．

10 . 如图，在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．

求证：OA⊥BC．