1 . 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且.

(1)证明：无论取何值，总有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在正三棱柱中，底面为的中点，为上一个动点.

(1)若为靠近点线段的三等分点，求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．

(1)求证：平面平面；
(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．

4 . 已知正方体的棱长为1，P是对角面（包含边界）内一点，且.

(1)求的长度；
(2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由；
(3)过点作平面与直线垂直，求平面与平面所成锐二面角的最小值，并求此时平面截正方体所得截面图形的周长.

5 . 长方体中，，是对角线上一动点（不含端点），是的中点.

(1)若，求三棱锥体积；
(2)平面与平面所成角的余弦值，求与平面所成角的余弦值.

6 . 如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
   
(1)当点为线段的中点时，求证：；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．

7 . 如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，．

(1)当时，求平面与平面的夹角大小；
(2)若平面，求的最小值．

8 . 如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面分别是棱的中点．

(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
(2)求平面截四棱锥所得的截面与交于点，求的值．

9 . 如图，在四棱锥中，，．
   
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．

10 . 已知直棱柱中，，，，，D为线段上任一点，E，F分别为，中点．

(1)证明：；
(2)当为何值时，平面与平面的二面角的正弦值最小，并求出最小值．