1 . 为了保护河上古桥，规划建一座新桥，同时建立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直，保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不小于.经测量点位于点正北方向处，点位于正东方向处（为河岸），.

(1)求新桥的长；
(2)当多长时，圆形保护区面积最大.

2 . 已知双曲线：经过点，，为左右顶点，且.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设过的直线与双曲线交于，两点（不与重合），记直线，的斜率为，，证明：为定值.

3 . 已知中，点，点，点．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求角平分线所在直线的方程．

4 . 平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（）的离心率为，实轴长为4．
   
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线的斜率满足，求点P的坐标．

5 . 已知直线的斜率为2，直线过点，．
(1)若直线的倾斜角为，求m的值；
(2)若，求m的值．

6 . 已知的顶点坐标为.
(1)试判断的形状：
(2)求边上的高所在直线的方程.

7 . 已知过原点的直线与圆：交于，两点．
(1)若，求直线的方程；
(2)当直线转动时，在轴上是否存在定点（原点除外），使得为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

9 . 已知，直线相交于点M，且它们的斜率之积是3.
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过点能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．

10 . 已知倾斜角为的直线l与双曲线C：交于A，B两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．