1 . 已知斜率为1的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．
(1)求的离心率；
(2)设的左焦点为，若，求过，，三点的圆的方程．

2 . 如图，长轴长为4的椭圆的左顶点为A，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，当直线的斜率为时，.

(1)求椭圆的方程.
(2)试问是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

3 . 已知圆，圆.
（1）若直线与圆相交于两点，且以线段为直径的圆经过点，求实数的值；
（2）设为圆上任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得（为常数）？若存在，求出定点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求动点的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；
（2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程；
（3）设是直线上的点，过点作曲线的切线，切点为，设，求证：过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．

6 . 在平面直角坐标系中,已知圆C经过点,且圆心在直线.
(1)求圆C的方程;   
(2)设P是圆上任意一点,过点P作圆C的两条切线,为切点,试求四边形面积的最小值.

7 . 已知圆C： .
(1)若直线在y轴上的截距为0且不与x轴重合，与圆C交于，试求直线:在x轴上的截距;
（2）若斜率为1的直线与圆C交于D,E两点，求使面积的最大值及此时直线的方程.