1 . 已知点，圆．
(1)求圆过点的切线方程；
(2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点、，设、的斜率分别为、，求证：为定值．

2 . 如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．

(1)求证：直线过定点；
(2)若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．

3 . 已知，函数.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)求证：；
(3)若为的极值点，点在圆上.求.

4 . 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；
（3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值．

5 . 已知圆满足：①圆心在第一象限，截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为；③圆心到直线的距离为.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点.

6 . 已知圆过点，，且圆心在直线上，过点的直线交圆于两点，过点分别作圆的切线，记为．
（1）求圆的方程；
（2）求证：直线的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程．

7 . 已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，过与垂直的直线与椭圆交于，与交于，
①求证：直线的斜率成等差数列；
②是否存在常数使得成立,若存在,求出的值,若不存在,说明理由.