1 . 在平面直角坐标系中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔并证明；
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．

2 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值.

3 . 求证：椭圆与椭圆的四个交点共圆．

4 . 给定、两点，求证：与这两点距离相等的点的轨迹方程是．

5 . 证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是．

6 . 证明以圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是，并判断点是否在圆上.

7 . 设动点到点和的距离分别为，且存在常数，使得.证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，动点满足．
（1）若P在线段AB上，求P的坐标．
（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．