1 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，是抛物线上位于轴两侧不对称的两动点，且．

(1)求证：直线恒过一定点，并求出该点坐标；
(2)若点为轴上一定点，且；

①求出点坐标；

②当为的内心时，求重心的坐标．

2 . 在平面直角坐标系中，抛物线E：的焦点为F，E的准线交轴于点K，过K的直线l与拋物线E相切于点A，且交轴正半轴于点P.已知的面积为2.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于y轴的直线与线段OA交于点T，点H满足.证明：直线过定点.

3 . 已知椭圆：的右焦点与抛物线：，的焦点重合，的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为4．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点M（3，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE过定点．

4 . 已知抛物线的焦点为F，斜率为的直线过点P，交C于A，B两点，且当时，．
(1)求C的方程；
(2)设C在A，B处的切线交于点Q，证明．

5 . 已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，．
(1)求抛物线的方程，并证明；
(2)已知，且，，三点共线，若且，求直线的方程．

6 . 已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.

7 . 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交椭圆于两点，在第一象限，轴，垂足为，连接延长交椭圆于点.
①求证：；
②求面积最大值.

8 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上，抛物线焦点到准线的距离为.
（1）求椭圆、抛物线的方程；
（2）过椭圆右顶点Q的直线与抛物线交于点A、B，射线、分别交椭圆于点、.
（i）证明：为定值；
（ii）求的面积的最小值.

9 . 已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与l，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线l与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.

10 . 已知以动点为圆心的与直线：相切，与定圆：相外切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹方程；
（Ⅱ）过曲线上位于轴两侧的点、（不与轴垂直）分别作直线的垂线，垂足记为、，直线交轴于点，记、、的面积分别为、、，且，证明：直线过定点.