1 . 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点列，直线系，，若直线与直线交于点.
（1）求证：点在抛物线上，并求出该抛物线的方程；
（2）设，为（1）中抛物线上两个不同的点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线经过定点.

2 . 在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2，证明:直线l过定点.

3 . 已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

4 . 已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到y轴的距离之差为1．
(1)求曲线C的方程；
(2)设直线l₁，l₂为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．
（ⅰ）求点M的轨迹方程；
（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．

5 . 已知曲线C上的点都在y轴及其右侧，且C上的任一点P到y轴的距离比它到圆F：x²+y²﹣2x0的圆心的距离小1．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F分别作直线l₁，l₂，其中直线l₁交曲线C于点A，B，直线l₂交曲线C于点M，N，且直线AM过定点，求证：直线BN的斜率为定值．

6 . 如图，已知抛物线y²＝2px（p＞0）上一点M（2，m）到焦点F的距离为3，直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且y₁＞0，y₂＜0，•12（O为坐标原点）．

(1)求抛物线的方程；
(2)求证：直线l过定点．

7 . 在平面内，已知点，动点到点的距离比到轴的距离大2，且动点是轴上方（包括轴）上的点．
(1)求动点的轨迹的方程．
(2)过点任作一直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于点，（为坐标原点）求证：以线段为直径的圆经过点．

8 . 已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点F到双曲线的渐近线的距离为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上一点P到F的距离是4，求P的坐标；
(3)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A、B两点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．

9 . 已知F为抛物线E：的焦点，以F为圆心作半径为R的圆Γ，圆Γ与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B、C，若△ABC为直角三角形．
(1)求半径R的值；
(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明．

10 . 已知抛物线E：x²＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．