解题方法
1 . 设
两点的坐标分别为
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积是
，记点的轨迹为
．
(1)求的方程；
(2)若
为直线
上的一动点，直线
分别与交于点
．求证：直线
过定点．
两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为．(1)求
的方程；(2)若
为直线上的一动点，直线分别与交于点．求证：直线过定点．
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2024高三下·全国·专题练习
2 . 在平面直角坐标系
中，动点
在圆
上，动点
在直线
上，过点作垂直于的直线与线段
的垂直平分线交于点，且
，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)若直线
与曲线交于
两点，
与曲线交于两点，其中
，且
同向，直线
交于点
.证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程.
中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程.(2)若直线
与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程.
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名校
3 . 在平面直角坐标系中，定义
为两点
、
的“切比雪夫距离”，例如：点
，点
，因为
，所以点
与点
的“切比雪夫距离”为
，记为
．
(1)已知点
，B为x轴上的一个动点，
①若
，写出点B的坐标；
②直接写出
的最小值
(2)求证：对任意三点A，B，C，都有
；
(3)定点
，动点
满足
，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r的值．
为两点、的“切比雪夫距离”，例如：点，点，因为，所以点与点的“切比雪夫距离”为，记为．(1)已知点
，B为x轴上的一个动点，①若
，写出点B的坐标；②直接写出
的最小值(2)求证：对任意三点A，B，C，都有
；(3)定点
，动点满足，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r的值．
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2023-02-15更新
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695次组卷
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5卷引用：第五篇 向量与几何 专题19 抽象距离 微点3 抽象距离——切比雪夫距离
（已下线）第五篇 向量与几何 专题19 抽象距离 微点3 抽象距离——切比雪夫距离（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）上海市上海师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题河南省信阳市信阳高级中学2024届高三高考模拟（十）（3月月考）数学试题河南省信阳市浉河区信阳高级中学贤岭校区2023-2024学年高一下学期8月月考数学试题
4 . 在平面内，若直线
将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知
为坐标原点，双曲线
的左、右焦点分别为
的离心率为2，点
为
右支上一动点，直线
与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当
轴时，直线
为
的等线.
(1)求的方程;
(2)若
是四边形
的等线，求四边形的面积;
(3)设
，点的轨迹为曲线
，证明:在点处的切线
为
的等线
将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.(1)求
的方程;(2)若
是四边形的等线，求四边形的面积;(3)设
，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线
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2024-06-16更新
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557次组卷
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6卷引用：专题20 创新定义题型（2大考向真题解读）
（已下线）专题20 创新定义题型（2大考向真题解读）（已下线）专题5 解析几何中的新定义压轴大题（过关集训）山东省青岛市2024届高三第三次适应性检测数学试题江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题江苏省海安高级中学2025届高三上学期期初检测数学试卷河南省许昌市许昌高级中学2025届高三上学期开学检测数学试题
5 . 从抛物线
上各点向
轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为
.
(1)求的轨迹方程；
(2)
是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点
，
①若
，求
的值；
②证明：三角形
与三角形
的面积之比为定值.
上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.(1)求
的轨迹方程；(2)
是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，①若
，求的值；②证明：三角形
与三角形的面积之比为定值.
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名校
6 . 平面上一点P满足：P点到
的距离比P点到y轴的距离大2，且点P不在一条射线上，记点P的轨迹方程为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)点Q为y轴左侧一点，曲线C上存在两点A，B，使得线段
，
的中点均在曲线C上，设线段的中点为M，证明：
垂直于y轴.
的距离比P点到y轴的距离大2，且点P不在一条射线上，记点P的轨迹方程为曲线C.(1)求曲线C的方程；
(2)点Q为y轴左侧一点，曲线C上存在两点A，B，使得线段
，的中点均在曲线C上，设线段的中点为M，证明：垂直于y轴.
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7 . 已知
，曲线上任意一点到点
的距离是到直线
的距离的两倍.
(1)求曲线的方程；
(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，
两点，直线
、
分别与直线交于，
两点，
为
的中点.
（i）证明：
；
（ii）记
，
，
的面积分别为
，
，
，则
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.(1)求曲线
的方程；(2)已知曲线
的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.（i）证明：
；（ii）记
，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
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8 . 已知实数m，n满足
.令
，
，记动点
的轨迹为E.
(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点
作相互垂直的两条直线
和
，和与E分别交于A、B和C、D，证明：
.
.令，，记动点的轨迹为E.(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；
(2)过点
作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.
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2023-10-07更新
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517次组卷
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4卷引用：考点14 直线与圆锥曲线相交问题 2024届高考数学考点总动员【练】
（已下线）考点14 直线与圆锥曲线相交问题 2024届高考数学考点总动员【练】云南省昆明市第二十四中学2024届高三上学期月考数学试题（一）河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）第三章 圆锥曲线的方程【单元提升卷】-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）
9 . 已知直线：
和直线：
，过动点E作平行的直线交于点A，过动点E作平行的直线交于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线
，若过点
的直线m与曲线交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若
，
，求证：
为定值.
：和直线：，过动点E作平行的直线交于点A，过动点E作平行的直线交于点B，且四边形OAEB（O为原点）的面积为4.(1)求动点E的轨迹方程；
(2)当动点E的轨迹的焦点在x轴时，记轨迹为曲线
，若过点的直线m与曲线交于P，Q两点，且与y轴交于点N，若，，求证：为定值.
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2023-01-10更新
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2452次组卷
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4卷引用：专题8 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
（已下线）专题8 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题专题20平面解析几何（解答题）湖南省岳阳市2023届高三上学期教学质量监测(一)数学试题河北省衡水中学2023届高三第四次综合素养测评数学试题
名校
解题方法
10 . 动点到定点
的距离和到直线
的距离之比为
，
(1)求动点的轨迹；
(2)设点
，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线
，切点为
，求证：直线
过某一个定点.
到定点的距离和到直线的距离之比为，(1)求动点
的轨迹；(2)设点
，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.
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