名校
解题方法
1 . 在平面直角坐标系
中，对于直线
和点
、
，记
，若
，则称点
、
被直线
分隔，若曲线
与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)判断点
是否被直线
分隔并证明；
(2)若直线
是曲线
的分隔线，求实数
的取值范围；
(3)动点
到点
的距离与到
轴的距离之积为
，设点的轨迹为曲线
，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．
中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．(1)判断点
是否被直线分隔并证明；(2)若直线
是曲线的分隔线，求实数的取值范围；(3)动点
到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．
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2 . 如图所示，定点
到定直线的距离
.动点
到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线
.
（1）请以线段
所在的直线为
轴，以线段上的某一点为坐标原点
，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；
（2）请指出（1）中的曲线的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线
交曲线于
，
两点，求证：
.
到定直线的距离.动点到定点的距离等于它到定直线距离的2倍.设动点的轨迹是曲线.（1）请以线段
所在的直线为轴，以线段上的某一点为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，使得曲线经过坐标原点，并求曲线的方程；（2）请指出（1）中的曲线
的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.（3）设（1）中的曲线
除了经过坐标原点，还与轴交于另一点，经过点的直线交曲线于，两点，求证：.
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2021-01-15更新
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390次组卷
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3卷引用：上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题
3 . 记
到点
与直线：
的“有向距离”．
（1）分别求点
与
到直线：
的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．
（2）求证：到两条相交定直线
（
，
不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．
（3）利用上述（2）结论证明：曲线
为双曲线，并求其虚轴长．
到点与直线：的“有向距离”．（1）分别求点
与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系．（2）求证：到两条相交定直线
（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线．（3）利用上述（2）结论证明：曲线
为双曲线，并求其虚轴长．
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名校
4 . 在平面直角坐标系中，对于直线和点
、
，记
，若
，则称点,被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点,被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点
、
被直线分隔；
（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
（3）动点M到点的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线.
中，对于直线和点、，记，若，则称点,被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点,被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.（1）求证：点
、被直线分隔；（2）若直线
是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点M到点
的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线.
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2019-12-12更新
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309次组卷
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6卷引用：上海市新中高级中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题
上海市新中高级中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题上海市杨浦区2016-2017学年高二下学期期中数学试题沪教版(上海) 高二第二学期 新高考辅导与训练 第12章 圆锥曲线 本章复习题（已下线）重组卷03（已下线）专题24 解析几何解答题（文科）-1（已下线）专题24 解析几何解答题（理科）-3
5 . 已知抛物线Γ的准线方程为
.焦点为
.
（1）求证：抛物线Γ上任意一点的坐标
都满足方程：
（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于轴的直线与抛物线交于
两点，求线段
的中点的轨迹方程.
.焦点为.（1）求证：抛物线Γ上任意一点
的坐标都满足方程：（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于
轴的直线与抛物线交于两点，求线段的中点的轨迹方程.
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2019-12-31更新
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350次组卷
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2卷引用：上海市静安区2019-2020学年高三上学期期末数学试题
名校
解题方法
6 . 已知椭圆
的离心率为
，左右焦点分别为
，是椭圆上一点，
，
．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点
的直线与椭圆交于
两点，
为线段
中点．
（i）求证：点轨迹方程为
；
（ii）为坐标原点，射线
与椭圆交于点
，点
为直线上一动点，且
，求证：点在定直线上．
的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，．(1)求椭圆的方程；
(2)过点
的直线与椭圆交于两点，为线段中点．（i）求证：
点轨迹方程为；（ii）
为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上．
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名校
解题方法
7 . 类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程
之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解
为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为
．的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；
(2)已知直线过曲面上一点
，以
为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(3)已知曲面可视为平面
中某双曲线的一支绕
轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线
在曲面上，且过点
，求异面直线与所成角的余弦值．
的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为．已知曲面的方程为．
的方程（无需说明理由），指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；(2)已知直线
过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；(3)已知曲面
可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上．设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
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名校
解题方法
8 . 设抛物线
的焦点为，过点的直线与抛物线交于
两点．
(1)若
，求线段
中点的轨迹方程；
(2)若直线的方向向量
，当焦点为
时，求
的面积；
(3)若是抛物线
准线上的点，直线
，
，的斜率分别为
，
，
，求证：为
的等差中项．
的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．(1)若
，求线段中点的轨迹方程；(2)若直线
的方向向量，当焦点为时，求的面积；(3)若
是抛物线准线上的点，直线，，的斜率分别为，，，求证：为的等差中项．
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9 . 在平面直角坐标系中，已知点
，直线
.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为
，且满足
.
(1)求点的轨迹方程；
(2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：
为定值.
中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足.(1)求点
的轨迹方程；(2)记点
的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值.
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2024-01-14更新
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593次组卷
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4卷引用：上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题上海市晋元高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（已下线）专题04 圆锥曲线（六大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
、
两点，求证：与这两点距离相等的点
．
