1 . 已知椭圆的离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值．

2 . 已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 如图，一个底面落在平面上的圆柱形水桶（高度不限），被一个与其底面所成角为的平面所截，在平面内的截面图形是一条圆锥曲线，若以圆锥曲线的中心为坐标原点，焦点所在直线为轴建立平面直角坐标系，且曲线上最远两点间的距离为8，，是平面内过点且互相垂直的两条直线，交E于，两点，交于，两点，线段，的中点分别为，.

(1)求在平面上的圆锥曲线的标准方程；
(2)求直线的斜率的取值范围；
(3)求的取值范围．

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为.点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限.记的面积为S，当时，.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)如图，PF₁，PF₂的延长线分别交椭圆于点M， N，记和的面积分别为S₁和S₂.

（i）求证：存在常数λ，使得成立；
（ii）求S₂- S₁的最大值.

5 . 如图，椭圆的顶点为，，，，焦点为，，，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，．是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

6 . 已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作圆两条切线，切点分别为，，求的值．

7 . 已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，当的面积最大时，求l的方程．

8 . 在平面直角坐标系中，，点与､连线的斜率之积为.记点的轨迹为，()为直线上的任一点，过的直线､分别与交于､两点，记三角形的面积与三角形的面积比值为.
（1）求的轨迹方程.
（2）求证：直线过定点.
（3）求取最大值时点的坐标.

9 . 已知椭圆过点(2,0)，离心率是．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆两焦点是F₁、F₂，点P是以F₁F₂为直径的圆上一点，与点F₁、F₂不重合，直线PF₁与椭圆交于A、B两点，直线PF₂与椭圆交于C、D两点，求|AB|+|CD|的取值范围．

10 . 已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是△的外接圆的圆心，求点的轨迹方程.