1 . 若椭圆的中心在原点，焦点在轴，一个焦点为，直线与椭圆相交所得弦的中点坐标为，则这个椭圆的方程为__________.

2 . 已知椭圆的左顶点，点是椭圆上关于原点对称的两个动点（点不与点重合），面积的最大值是2.
(1)求椭圆的方程.
(2)若直线与轴分别相交于点，是否存在定点，总有？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

3 . 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴，菱形的周长为，面积为，椭圆的焦距大于短轴长．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆内的一点（不在的轴上），过点作直线交于两点，且点为的中点，椭圆的离心率为，点也在上，求证：直线与相切．

4 . 已知､是椭圆的左､右焦点，直线与椭圆相切于点，过的直线交椭圆于两点，当直线与x轴垂直时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线分别与直线交于两点，求面积的最小值.

5 . 设分别是椭圆的左、右焦点．
(1)若P是该椭圆在第一象限上的一个动点，若，求点P的坐标；
(2)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

6 . 已知椭圆的离心率为，直线交于，两点；当时，.
（1）求E的方程；
（2）设A在直线上的射影为D，证明：直线过定点，并求定点坐标.

7 . 已知椭圆：的左，右焦点分别为，上顶点为.为抛物线的焦点，且，.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线的斜率为，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆，、是左右焦点，且，P在椭圆C上且．
（1）求椭圆C的方程：
（2）过右焦点直线交椭圆于点B，C两点，A为椭圆的左顶点，若，求直线AB的斜率k的值．

9 . 已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂＝e²﹣1（e为椭圆的离心率）.

10 . 已知椭圆过点，且其中一个焦点的坐标为，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.