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解题方法
1 . 历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年-325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图甲,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线,如图乙,椭圆C的中心在坐标原点,焦点为,由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为.利用椭圆的光学性质解决以下问题 :
(1)求椭圆C的离心率;
(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点,椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上,求椭圆C的方程.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)点P是椭圆C上除顶点外的任意一点,椭圆在点P处的切线为在l上的射影H在圆上,求椭圆C的方程.
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解题方法
2 . 已知椭圆的长轴长是焦距的两倍,其左、右焦点依次为、,抛物线:的准线与轴交于,椭圆与抛物线的一个交点为.
(1)当时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,直线过焦点,与抛物线交于、两点,若弦长等于的周长,求直线的方程;
(3)由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”,是否存在以原点为直角顶点,另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形,若存在,求出两直角边所在直线的斜率;若不存在,说明理由.
(1)当时,求椭圆的方程;
(2)在(1)的条件下,直线过焦点,与抛物线交于、两点,若弦长等于的周长,求直线的方程;
(3)由抛物线弧和椭圆弧合成的曲线叫做“抛椭圆”,是否存在以原点为直角顶点,另两个顶点、落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形,若存在,求出两直角边所在直线的斜率;若不存在,说明理由.
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2021-06-03更新
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505次组卷
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4卷引用:上海市大同中学2021届高三三模数学试题
上海市大同中学2021届高三三模数学试题(已下线)3.2.双曲线(A 基础培优练)-2021-2022学年高二数学同步双培优检测(苏教版2019选择性必修第一册)沪教版(2020) 选修第一册 新课改一课一练 期中测试B上海市南洋模范中学2024届高三上学期开学考试数学试题
3 . 已知点,,动点满足,点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知圆上任意一点处的切线方程为:,类比可知椭圆:上任意一点处的切线方程为:.记为曲线在任意一点处的切线,过点作的垂线,设与交于,试问动点是否在定直线上?若在定直线上,求出此直线的方程;若不在定直线上,请说明理由.
(1)求曲线的方程;
(2)已知圆上任意一点处的切线方程为:,类比可知椭圆:上任意一点处的切线方程为:.记为曲线在任意一点处的切线,过点作的垂线,设与交于,试问动点是否在定直线上?若在定直线上,求出此直线的方程;若不在定直线上,请说明理由.
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2021·全国·模拟预测
解题方法
4 . 如图,一块正中间镂空的横杆放置在平面直角坐标系的轴上(横杆上镂空的凹槽与轴重合,凹槽很窄),横杆的中点与坐标原点重合.短杆的一端用铰链固定在原点处,另一短杆与短杆在处用铰链连接.当短杆沿处的栓子在横杆上镂空的凹槽内沿轴左右移动时,处装有的笔芯在平面直角坐标系上画出点运动的轨迹(连接杆可以绕固定点旋转一周,被横杆遮挡的部分忽略不计).已知,.
(1)求曲线的方程.
(2)过点作直线与曲线交于,两点,试问在轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求曲线的方程.
(2)过点作直线与曲线交于,两点,试问在轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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5 . 已知焦点在轴上,中心在原点,离心率为的椭圆经过点,动点(不与定点重合)均在椭圆上,且直线与的斜率之和为1,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证直线经过定点;
(3)求的面积的最大值
(1)求椭圆的方程;
(2)求证直线经过定点;
(3)求的面积的最大值
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6 . 已知是的定直径,过上的动点作切线与过点的切线分别交于点,连接交于点,则点的轨迹是( )
A.圆 | B.椭圆 | C.抛物线的一段 | D.线段 |
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2021-05-27更新
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779次组卷
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4卷引用:浙江省杭州市第二中学2021届高三下学期5月仿真考数学试题
浙江省杭州市第二中学2021届高三下学期5月仿真考数学试题第三章 (综合培优)圆锥曲线的方程 B卷-【双基双测】2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(浙江专用)(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)选择性必修第一册 数学全册检测题 B卷(综合提升)-【双基双测】2021-2022学年高二数学同步单元AB卷(浙江专用)(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)第3章 圆锥曲线的方程 章末测试(基础)-2021-2022学年高二数学一隅三反系列(人教A版2019选择性必修第一册)
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7 . 如图,椭圆和的交点依次为则下列说法正确的是( )
A.四边形为正方形 |
B.阴影部分的面积大于 |
C.阴影部分的面积小于 |
D.四边形的外接圆方程为 |
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2021-05-24更新
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463次组卷
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3卷引用:全国1卷2021届高三二轮复习联考(三)数学试卷(新高考卷)
全国1卷2021届高三二轮复习联考(三)数学试卷(新高考卷)江苏省宿迁市泗阳县实验高级中学2021-2022学年高二上学期第一次质量调研数学试题(已下线)第十一章 圆锥曲线专练2—椭圆小题2-2022届高三数学一轮复习
8 . 有两条互相垂直的直线和,有一条定长的线段,它的两个端点分别被限制于这两条直线上.点是上的一个确定点,即点到点和点的距离的比值是一个定值.那么,随着线段的运动,点的运动轨迹及焦距长为( )
A.椭圆,焦距长为 | B.椭圆,焦距长为 |
C.双曲线,焦距长为 | D.双曲线,焦距长为 |
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9 . 直线交椭圆于,两点,满足,其中为坐标原点.
(1)证明:直线恒与一个定圆相切;
(2)设椭圆在,两点处的切线交于点,求点的轨迹方程.
(1)证明:直线恒与一个定圆相切;
(2)设椭圆在,两点处的切线交于点,求点的轨迹方程.
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