1 . 椭圆的左右焦点分别为、，短轴端点分别为、． 若四边形为正方形，且．
   
(1)求椭圆标准方程；
(2)若、分别是椭圆长轴左、右端点，动点满足，点在椭圆上，且满足，求证定值（为坐标原点）；
(3)在（2）条件下，试问在轴上是否存在异于点的定点，使，若存在，求坐标，若不存在，说明理由．

2 . 已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，证明：

3 . 如图，已知椭圆的左右顶点分别为A、B，P是椭圆上异于A、B的动点，满足，当为上顶点时，的面积为2.

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交直线于点，直线交椭圆于点，求证：直线过定点.

4 . 已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若经过的直线与椭圆交于A，C，经过的直线与椭圆交于B，D，与交于点P（点P在椭圆内），求证：．

5 . 已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，．

(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；
(3)记的面积为，求的最大值．

6 . 已知椭圆与直线有且只有一个交点，点，分别为椭圆的上顶点和右焦点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线不经过点且与椭圆交于M，N两点，当直线，的斜率之和为时，求证：直线过定点.

7 . 已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．
(1)求E的方程；
(2)设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．

8 . 如图，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，右顶点为．
   
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P是椭圆C上异于的一点，且直线PA、PB分别与y轴和x轴交于点，求证：为定值．

9 . 已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．

10 . 已知椭圆：（）的右焦点为，其离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上．