1 . 在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线，动点在上的射影为，且满足.
(1)记点的运动轨迹为，求的方程；
(2)过点作斜率不为0 的直线与交于 两点，与轴的交点为，记直线和直线的斜率分别为，求证：.

2 . 已知椭圆的焦距为，为坐标原点，椭圆的上下顶点分别为，，左右顶点分别为，，依次连接的四个顶点构成的四边形的面积为4．
(1)求的方程；
(2)过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为．求证：．

3 . 已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.

5 . 已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点（不与重合），直线分别与直线相交于点，N.当点运动时，求证：以为直径的圆截轴所得的弦长为定值.

6 . 已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．

7 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；
(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.

8 . 已知椭圆经过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线垂直于轴，与椭圆交于点，，直线与轴交于点，若直线与直线交于点，证明：点在椭圆上．

9 . 已知椭圆：的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)过椭圆外一动点作椭圆的两条切线，，斜率分别为，，若恒成立，证明：存在两个定点，使得点到这两定点的距离之和为定值．

10 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点，分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点.过点作与轴垂直的直线与椭圆交于点，证明：直线过定点.