1 . 如图，分别过椭圆左、右焦点、的动直线、相交于点，与椭圆分别交于、与、不同四点，直线、、、的斜率、、、满足．已知当与轴重合时，，．

（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在定点、，使得为定值？若存在，求出、点坐标并求出此定值；若不存在，说明理由．

2 . 已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

3 . 已知分别为椭圆的左右焦点，上顶点为，且的周长为，且长轴长为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，若直线与椭圆交于两点，求.

4 . 椭圆（）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，若，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点关于轴的对称点在抛物线上，是否存在直线与椭圆交于，使得的中点落在直线上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出的方程，若不存在，说明理由.

5 . 设 为椭圆 上任一点，， 为椭圆的焦点，，离心率为 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线 经过点 ，且与椭圆交于 ， 两点，若直线 ，， 的斜率依次成等比数列，求直线 的方程．

6 . 已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，若，，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设轨迹上一动点满足：，其中是轨迹上的点，且直线与的斜率之积为，若为一动点，，为两定点，求的值.