1 . 已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为．
(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率；
(2)若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标；
(3)若直线与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：．

2 . 已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．

3 . 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．
(1)求的最大值；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

4 . 是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.

(1)求的标准方程；
(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.

6 . 已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.

7 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率，点为椭圆内一点，上一点满足的最大值与最小值之和为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与交于，两点，且，是否存在以为圆心的圆与相切，若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若直线与交于，两点，且，求的最大值.