1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值；
(3)若点为圆上的动点，点，求的最小值．

2 . 已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于A，B两点，线段AB的中点为．
(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率；
(2)若是曲线上的点，且在第一象限，，是其左右焦点，当为直角三角形时，求点的横坐标；
(3)若直线与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线CD中点，求证：．

3 . 已知为椭圆上一动点，的上，下焦点分别为，，定点．
(1)求的最大值；
(2)若直线与交于两点，且的中点为，求的面积．

4 . 已知椭圆内有一点，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使最小.

5 . 设分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值．

6 . 如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．

(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
(2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．

7 . 已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，求的最大值和最小值．

8 . 已知椭圆，离心率为，其左右焦点分别为，，点在椭圆内，P为椭圆上一个动点，且的最大值为5．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C的上半部分取两点M，N（不包含椭圆左右端点），且，求四边形的面积．

9 . 已知点Q是圆（圆心为M）上的动点，点，线段QN的垂直平分线交MQ于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)已知点，S是轨迹E上一动点，求的最大值；
(3)在轨迹E上是否存在点T，使？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．
(1)求的最大值；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．