1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆与x轴正半轴的交点为A，与y轴正半轴的交点为B，M在C上，垂直于x轴，O为坐标原点，且，．

(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过的直线l与椭圆C交于P，Q两点，当直线l的斜率存在时，试判断x轴上是否存在一点T，使得．若存在，求出T点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 已知椭圆的离心率为，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)试求面积的最大值以及此时直线的方程.

3 . 已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.

4 . 一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点，与半椭圆交于点，则下列结论正确的是（       ）

A．椭圆的离心率是

B．线段长度的取值范围是

C．的面积存在最大值

D．的周长存在最大值

5 . 如图，在平面直角坐标系，已知，分别：的左，右焦点.设点为线段的中点.

(1)若为长轴的三等分点，求椭圆方程；
(2)直线（不与轴重合）过点且与椭圆交于，两点，延长，与椭圆交于，两点，设直线，的斜率存在且分别为，，请将表示成关于的函数，即，求的值域.

6 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于轴的直线与椭圆交于两点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，在线段上取一点，满足，证明：点必在某条定直线上.

7 . 已知椭圆长轴长为4，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线l交椭圆C于A、B两点，求的取值范围.

8 . 已知，为椭圆：的左、右焦点.点为椭圆上一点，当取最大值时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为直线上一点（且不在轴上），过点作椭圆的两条切线，，切点分别为，，点关于轴的对称点为，连接交轴于点.设，的面积分别为， ，求的最大值.

9 . 已知点为椭圆C上的一点，.
(1)求C的方程；
(2)若直线l交C于M，N两点，连接BM，BN并延长，记直线BM，BN，l的斜率满足，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

10 . 已知椭圆的半焦距，离心率，且过点，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点的直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B，若，求的取值范围.