1 . 已知点A、分别是椭圆：的上、下顶点，、是椭圆的左、右焦点，，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同两点、（、与椭圆上、下顶点均不重合），证明：直线、的交点在一条定直线上．

2 . 已知椭圆经过点，焦距为，斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆E：（）的左右顶点分别为A，B，焦距为2，P是椭圆E上异于A，B的任意一点，若直线PA，PB斜率之积为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点在椭圆E的内部，直线AT，BT分别交椭圆E于另外的点C和D，若△CDT的面积为，求t的值．

4 . 已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.
(1)求的方程；
(2)设轴上的一定点，过点作直线交椭圆于，两点，若在上存在一点A，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围.

5 . 已知椭圆的离心率为，右顶点为，设点为坐标原点，点为椭圆上异于左右顶点的动点，的面积最大值为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线交轴于，其中，直线交椭圆于另一点，直线分别交直线于点和，是否存在实数使得四点共圆，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

7 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上两点满足直线与在轴上的截距之比为，试判断直线是否过定点，并说明理由.

8 . 如图，椭圆中，长半轴的长度与短轴的长度相等，焦距为6，点是椭圆内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与椭圆相交于点与椭圆相交于点.
   
(1)求椭圆的方程；
(2)求的最小值及此时直线的方程.

9 . 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，．

(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B为椭圆上不同的两点，O为原点，直线OA，OB的斜率之积为，P为射线OA上的点，，线段PB与椭圆交于点Q，
①求的值；
②求四边形OAQB的面积．

10 . 已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.