1 . 已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为，，且与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线交椭圆于，两点，过的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值.

2 . 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，当边的面积为时，求实数的值．

3 . 已知椭圆：的左右焦点分别为和，为椭圆上的动点，的最小值为1，且的最大值为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）若经过且倾斜角为45°的直线与椭圆交于、两点，求弦长．

4 . 已知椭圆的离心率为，焦距为4，直线与C相交于，两点，且.直线与平行，且它们之间的距离为，与C相交于M.、N两点.
（1）求C的方程；
（2）求.

5 . 已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.

（1）若，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.

7 . 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设、分别为椭圆的左、右顶点，动点满足，直线与椭圆交于点（与点不重合），以为直径的圆交线段于点，求证：直线过定点.

8 . 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“海中圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（1）求椭圆的方程和其“海中圆”方程；
（2）点是椭圆的“海中圆”上的一个动点，过点作直线，，使得，与椭圆都只有一个交点．求证：．

9 . 已知椭圆的左右焦点分别为，过作直线，交椭圆于、两点，的周长为8，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过坐标原点作直线的垂线，交椭圆于，两点，试判断是否为定值，若是，求出这个定值.

10 . 已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若经过点，斜率为的直线与圆心为的圆相切．
①求直线的方程和圆的标准方程；
②若直线过点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围．