1 . 若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积．

2 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.

3 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过作斜率之积为1的两条直线与，设交于，两点，交于，两点，，的中点分别为，．试问：直线是否恒过定点？若是，请求出与的面积之比；若不是，请说明理由．

4 . 已知，是椭圆的左右焦点，离心率为，直线过右焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，，交曲线于，交曲线于，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

5 . 已知椭圆的两焦点分别为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，求 的面积．

6 . 已知椭圆，长轴是短轴的倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知椭圆：，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且P在轴上的投影为点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点Q且不与y轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知椭圆的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于，两点，关于原点的对称点，直线，与轴分别交于，两点，求证：.

9 . 设椭圆过，两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)椭圆E的右顶点为D，直线与椭圆E交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若其满足，且直线l与以原点为圆心半径为的圆相切，求直线l的方程.

10 . 已知椭圆经过两点，.
(1)求椭圆C的方程：
(2)A、B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为圆上的动点（P不在坐标轴上），PA与PB分别与椭圆C交E、F两点，直线EF交x轴于H点，请问点P的横坐标与点H的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.