1 . 已知椭圆C：（）过点，，为椭圆的左右顶点，，为椭圆的下顶点和上顶点，P是椭圆C上不同于，的动点，直线，的斜率分别为，，满足

(1)求椭圆C的方程：
(2)若点P是椭圆上第一象限内的一点，直线OP交椭圆C于另一点Q，求四边形的面积的取值范围．

2 . 已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)点、是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，且，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标.

3 . 已知椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于两点，是弦的中点，求直线的方程及弦的长度.

4 . 已知椭圆的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上有一点且点在第一象限，交轴于点，交轴于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求面积的最大值.

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为、，，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点且倾斜角不为的直线与椭圆的交点为、，求面积最大时直线的方程．

7 . 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆相交于，两点，求的最大值；

8 . 已知，是椭圆：长轴的两个端点，点在椭圆上，直线，的斜率之积等于.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，直线方程为，若过点的直线与椭圆相交于，两点，直线，与的交点分别为，，线段的中点为.判断是否存在正数使直线的斜率为定值，并说明理由.

9 . 已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1，为圆的一条弦，是的中点，过作圆的两条弦，.若，分别与直线交于点，，则.

该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆中，弦的中点的坐标为，且两条弦，所在直线斜率存在，证明：.

10 . 已知椭圆：的左右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，点在椭圆上，延长与椭圆交于点，点是的中点．

（1）求椭圆的方程．
（2）若点是坐标原点，记与的面积之和为，试求的最大值．