1 . 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)证明：为定值．
(3)求的取值范围．

2 . 已知椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于、），且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，证明直线经过定点，并求出定点的坐标．

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点．

4 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.

5 . 已知椭圆过和两点.
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.

6 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆：经过点，且离心率．
(1)求的标准方程；
(2)经过原点的直线与椭圆交于，两点，是上任意点，设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，证明：是定值．

7 . 已知椭圆的离心率为，过点．
       
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的右焦点为F，定直线，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，过A，B两点分别作于，于，直线、交于点，证明：点为定点，并求出点的坐标．

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若△为等边三角形，且点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的左、右顶点分别为，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点（异于椭圆E的顶点），直线与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

9 . 已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.

10 . 设椭圆的左､右顶点分别为，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点.