1 . 已知点在椭圆上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过作直线交椭圆于另一点，求的面积的取值范围.

2 . 已知过点的椭圆的左顶点为，上顶点为，左、右焦点分别为．直线与直线垂直．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的右顶点为，已知点在椭圆上运动，点在直线上，证明：以为直径的圆与直线相切．

3 . 已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值．

4 . 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．

5 . 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点和两点，设的中点分别为，求面积的最大值．

6 . 已知是椭圆的右焦点，点在不过原点的直线上，交于，两点.当与互补时，，.
(1)求的方程；
(2)证明：为定值.

7 . 已知椭圆的左右焦点为、，下顶点为，且椭圆过，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过的直线交椭圆于、两点，为坐标平面上一动点，直线、、斜率的倒数成等差数列，试探究点是否在某定直线上，若存在，求出该定直线的方程，若不存在，请说明理由．

8 . 在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．

9 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆上两点满足直线与在轴上的截距之比为，试判断直线是否过定点，并说明理由.

10 . 已知椭圆的左､右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．