1 . 已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离等于其离心率．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与椭圆相切，且与双曲线的左、右支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点．为坐标原点，记的面积分别为，当时，求直线的方程．

2 . 已知点在双曲线上，且的离心率为，直线交的左支于，两点，直线，的斜率之和为0．

(1)求直线的斜率；
(2)若，直线，与轴的交点分别为，，求的面积．

4 . 已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，且.

(1)求双曲线的标准方程;
(2)若直线：与双曲线的左、右两支分别交于两点，与双曲线的渐近线分别交于两点，求的取值范围.

5 . 已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.

(1)求双曲线的标准方程.
(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S₁，S₂，S，求的最小值.

6 . 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程．
(2)若过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于，设．试判断是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

7 . 点在以、为焦点的双曲线上，已知，，为坐标原点．

(1)求双曲线的离心率；
(2)过点作直线分别与双曲线渐近线相交于、两点，且，，求双曲线的方程；
(3)若过点（为非零常数）的直线与（2）中双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且（为非零常数），问在轴上是否存在定点，使？若存在，求出所有这种定点的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若双曲线E实轴长为2，过点且斜率为的直线交双曲线C的右支不同的A，B两点，为轴上一点且满足，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.

10 . 已知双曲线C：（，）的焦距为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设P，Q为双曲线C上异于点的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为，，若，求证：直线PQ过定点.