1 . 已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.

2 . 已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．

(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．

①求证：为定值；

②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．

3 . 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
(1)求的方程；
(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.

4 . 已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点.
(1)求双曲线的方程
(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上.

6 . 已知双曲线：的离心率为，并且经过点．
(1)求双曲线的方程．
(2)若直线经过点，与双曲线右支交于、两点其中点在第一象限，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段．

7 . 已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．

9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.

10 . 已知圆A：，直线l（与x轴不重合）过点交圆A于C、D两点，过点B作直线的平行线交直线于点E.
(1)证明为定值，并求点E的轨迹方程；
(2)设点E的轨迹方程为，直线l与曲线交于M、N两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，是否存在实常数入，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.