1 . 已知双曲线
，若直线
与双曲线
交于
两点，线段
的中点为
，且
（
为坐标原点）.
(1)求双曲线的离心率；
(2)若直线不经过双曲线的右顶点
，且以为直径的圆经过点
，证明直线恒过定点
，并求出点的坐标.
，若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，且（为坐标原点）.(1)求双曲线
的离心率；(2)若直线
不经过双曲线的右顶点，且以为直径的圆经过点，证明直线恒过定点，并求出点的坐标.
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名校
解题方法
2 . 已知
，我们称双曲线
与椭圆
互为“伴随曲线”，点
为双曲线和椭圆
的下顶点.
(1)若
为椭圆的上顶点，直线
与交于
，
两点，证明：直线
，
的交点在双曲线上；
(2)过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦长为
，双曲线的一条渐近线方程为
，若
为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记
的面积为
，
（为坐标原点），
的面积为
.
（i）求双曲线的方程；
（ii）证明：
.
，我们称双曲线与椭圆互为“伴随曲线”，点为双曲线和椭圆的下顶点.(1)若
为椭圆的上顶点，直线与交于，两点，证明：直线，的交点在双曲线上；(2)过椭圆
的一个焦点且与长轴垂直的弦长为，双曲线的一条渐近线方程为，若为双曲线的上焦点，直线经过且与双曲线上支交于，两点，记的面积为，（为坐标原点），的面积为.（i）求双曲线
的方程；（ii）证明：
.
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2024-02-08更新
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916次组卷
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3卷引用：江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（四）
名校
3 . 设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，且焦距为6，点
在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线
上一点，直线
交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点．
的左、右焦点分别为，，且焦距为6，点在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线
上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点．
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2023-05-20更新
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319次组卷
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2卷引用：江西省贵溪市实验中学2024届高三上学期新高考模拟检测（三）数学试题
2023·吉林·二模
4 . 已知双曲线过点
，且焦距为10．
(1)求C的方程；
(2)已知点
，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：
．
过点，且焦距为10．(1)求C的方程；
(2)已知点
，E为线段AB上一点，且直线DE交C于G，H两点．证明：．
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2023-02-23更新
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5784次组卷
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13卷引用：江西省九师联盟2024届高三上学期10月联考数学试题
（已下线）江西省九师联盟2024届高三上学期10月联考数学试题2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省高三下学期2月适应性测试数学试题2023年安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省联考数学试卷评价（已下线）2023年四省联考变试题17-22云南省2023届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学试题山西省大同市2023届高三阶段性模拟（2月联考）数学试题（A卷）（已下线）专题16圆锥曲线（解答题）四川省射洪中学校2023届高考适应性考试（二）文科数学试题山西省大同市第一中学校等2校2023届高三一模理科数学试题（已下线）重难专攻(十一)?圆锥曲线中的证明,探究性问题（A素养养成卷）山西省晋中市平遥县第二中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题湖北省黄石市部分学校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷广东省广州市第六中学2023-2024学年高二下学期4月测验数学试题
名校
解题方法
5 . 双曲线
与椭圆
的焦点相同，且渐近线方程为
，双曲线
的上下顶点分别为A，B．过椭圆
上顶点R的直线l与双曲线交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线
的斜率为
，直线
的斜率为
．
(1)求双曲线的方程；
(2)证明
为定值，并求出该定值．
与椭圆的焦点相同，且渐近线方程为，双曲线的上下顶点分别为A，B．过椭圆上顶点R的直线l与双曲线交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求双曲线
的方程；(2)证明
为定值，并求出该定值．
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2022-04-12更新
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652次组卷
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5卷引用：江西省宜春市2022届高三4月模拟考试数学（理）试题
江西省宜春市2022届高三4月模拟考试数学（理）试题（已下线）回归教材重难点04 圆锥曲线-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关（已下线）必刷卷03（理）-2022年高考数学考前信息必刷卷（全国甲卷）重庆市云阳江口中学校2022届高三上学期期末数学试题江西省上饶市广丰区重点高中2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题
解题方法
6 . 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在
轴上，离心率
，虚轴长为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线：
与曲线相交于，两点(，均异于左、右顶点)，且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点
，求证：直线过定点.
的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为2.（1）求双曲线
的标准方程；（2）若直线
：与曲线相交于，两点(，均异于左、右顶点)，且以线段为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点.
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7 . 已知
，如图，曲线
由曲线：
和曲线：
组成，其中点
为曲线所在圆锥曲线的焦点，点
为曲线所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若
，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线
过点
交曲线于点
，求
面积的最大值.
，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若
，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线
平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线
，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
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2020-04-08更新
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1039次组卷
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14卷引用：江西省南昌市实验中学2021届高2月月考数学（理）试题
江西省南昌市实验中学2021届高2月月考数学（理）试题2015届上海市杨浦区高三上学期学业质量调研理科数学试卷2016届湖北省沙市中学高三考前最后一卷理科数学试卷2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考数学（理）试卷2017届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）试卷2017届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）试卷2018届湖南省怀化市高三第二次模拟数学(理)试题上海市上海师范大学第二附属中学2021届高三下学期3月月考数学试题湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中、江夏一中2017-2018学年高二上学期12月联考数学（理）试题上海市华东师范大学第三附属中学2015-2016学年高二下学期期中（理）数学试题重庆市育才中学校2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题黑龙江省鹤岗市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）期末真题必刷压轴60题（22个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）
