1 . 设是已知的双曲线，以的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线．
(1)求双曲线的共轭双曲线的方程；
(2)求证：双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一圆上．

2 . 双曲线：的左顶点为，实轴长为2，过右焦点作垂直于实轴的直线交于，两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)，是右支上的两点，设直线，的斜率分别是，，若.
①求证：直线恒过定点；
②求点到直线的距离的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．
（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？
（ⅱ）证明：不可能是的三等分线．

4 . 已知F是双曲线的右焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)过P作直线l与双曲线E交于两点A、B，记FA、FB的斜率（斜率均有在）分别为，证明：是定值，并求出这个值．

5 . 已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点．

6 . 已知双曲线的中心为坐标原点，上顶点为，离心率为.
(1)求双曲线的方程；
(2)记双曲线的上、下顶点为、，为直线上一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，求证：直线过定点，并求出定点坐标.

7 . 已知双曲线：的实轴长为4，焦距为．
(1)求双曲线的方程；
(2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：．

8 . 已知双曲线的实轴长为2，且过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点P作双曲线的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值.

9 . 已知双曲线的两条渐近线分别为上一点到的距离之积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右两个顶点分别为为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，直线与轴的交点为，直线与的交点为，证明．

10 . 已知双曲线的左顶点为，焦点到渐近线距离为．

(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；
①求证：Q为定点；
②直线MN交直线于点D，记．求证：为定值．