1 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线左右顶点分别为，在直线上取一点，直线交双曲线右支于点，直线交双曲线左支于点，直线和直线的交点为，求证：点在定直线上.

2 . 双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
(1)若点的坐标为，求双曲线的方程；
(2)若在第一象限，证明：.

3 . 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．
(1)求双曲线方程；
(2)若点在双曲线上，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的面积．

4 . 已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.

5 . 双曲线，恰好过中的三点.
(1)求双曲线的方程；
(2)记双曲线上不同的三点，其中为双曲线的右顶点，若直线的斜率之积为1，证明：直线过定点.

6 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在C上，且.
（1）求C的方程；
（2）斜率为的直线l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D.若直线的斜率存在且分别为，证明：为定值.