1 . 已知双曲线的一个顶点为，D，E是C上关于原点O对称的两点，且直线AD，AE的斜率之积为．
(1)求C的标准方程．
(2)设Q是C上任意一点，过Q作与C的两条渐近线平行的直线，与x轴分别交于点M，N，判断x轴上是否存在点G，使得为定值．

2 . 已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过点．
(1)求双曲线的渐近线方程．
(2)设点为的顶点，直线与交于两点，直线与交于点．从下列结论①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立．
①点在定直线上；②直线过定点．

3 . 已知双曲线（）的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)点在双曲线上，直线与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值．

4 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上．
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值．

5 . 双曲线C经过两点.过点的直线与双曲线C交于P，Q，过点的直线与直线相交于点S且

(1)求双曲线C的方程；
(2)若，求直线的斜率.

6 . 已知双曲线过点，离心率.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线交双曲线于点，，直线，分别交直线于点，，求的值.

7 . 已知是双曲线上的两个点，且关于原点对称．的两条渐近线互相垂直．
(1)求的方程；
(2)设是双曲线上一点，直线分别与直线交于两点，求的最小值．

8 . 已知双曲线的离心率为，且过点．
(1)求C的方程；
(2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

9 . 已知双曲线，渐近线方程为，点在上；
   
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.

10 . 已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：直线、的斜率之和为定值.